Доповідь на тему: Лінійні рівняння першого порядку 1. Загальна теорія Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий:
. Якщо
, тобто рівняння має вигляд
, то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв’язується таким чином:
Нарешті
. Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але
вважається невідомою функцією від
, тобто
і
. Для знаходження
підставимо
у рівняння
. Звідси
Проінтегрувавши, одержимо
. І загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд
Якщо використовувати початкові умови
, то розв’язок можна записати у формі Коші:
. 2. Рівняння Бернуллі Рівняння вигляду
називається рівнянням Бернуллі. Розділимо на
і одержимо
Зробимо заміну:
. Підставивши в рівняння, отримаємо
Одержали лінійне диференціальне рівняння. Його розв’язок має вигляд
3. Рівняння Рікатті Рівняння вигляду
називається рівнянням Рікатті. В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується. Відомі лише деякі частинні випадки рівнянь Рікатті, що інтегруються в квадратурах. Розглянемо один з них. Нехай відомий один частинний розв’язок
. Робимо заміну
і одержуємо
Оскільки
- частинний розв’язок, то
. Розкривши скобки і використовуючи вказану тотожність, одержуємо
Перепишемо одержане рівняння у вигляді
, це рівняння Бернуллі з
.